Por que contradições são problemáticas?

Em qualquer contexto de argumentação (na ciência, na filosofia ou em contextos ordinários) existe um tipo de objeção argumentativa que dificilmente alguém poderia desconsiderar: quando se mostra que há uma contradição sendo implicada por um conjunto de proposições que são sustentadas por alguém. Imagine: eu estou argumentando com você e você nota que, se assumirmos tudo aquilo que eu estou sustentando, então se segue uma contradição. Então, você me dá um ‘golpe fatal’, ao mesmo tempo em que ajuda-me a evitar o erro: você me mostra que uma contradição se segue das minhas teses.

A maioria dos filósofos e cientistas estariam, assim suponho, dispostos a conceder que uma contradição implicada é razão suficiente para suspender o juízo sobre teses previamente sustentadas (talvez a maior evidência disso esteja na própria história do pensamento humano!). Porém, alguém poderia perguntar: por que isso deve ser um problema? Ora, eu não poderia dizer ao objetor que não há problema algum no fato de que uma contradição se segue de um conjunto de teses que eu assumo? De fato, é difícil imaginar uma situação em que eu seria racional ao fazer isso. Quero brevemente explicar por que.

Em primeiro lugar, existe uma propriedade epistêmica negativa na aceitação de uma contradição. Ora, se assumo que P & ~P é o caso, então eu creio que P. No entanto, dado que eu também creio que ~P, eu tenho um derrotador para a minha crença de que P. Então eu creio que ~P. Porém, eu também tenho um derrotador para a minha crença de que ~P, a saber: P. Ou seja, eu estou ‘auto-derrotado’ ao sustentar uma contradição. Qualquer raciocínio que eu possa vir a construir com base nesta contradição levará a uma conclusão que é derrotada pelas minhas próprias crenças (você crê que P ou crê que ~P, afinal de contas!?).

Em segundo lugar, existe uma propriedade lógica negativa na própria contradição. Você já deve ter ouvido a afirmação: “de uma contradição qualquer coisa se segue”. O que isso quer dizer? Inicialmente, parece contra-intuitivo dizer que tudo pode se seguir logicamente de uma determinada proposição – neste caso, uma proposição contraditória. Mas isto é precisamente o caso, e esta propriedade pode ser contemplada por meio da prova de um argumento. O argumento em questão é um entre muitos que apresentei aos meus alunos da disciplina de Lógica. A proposta é a de que eles provem estes argumentos e compreendam como que regras derivadas de inferência podem ser obtidas a partir de regras básicas. O argumento em questão é o seguinte:

~P├ P→Q

Ou seja: dado que ~P é o caso, portanto, se P então Q. Aqui está a prova deste argumento (e com isso estou mostrando a prova para os meus alunos – poreḿ, eles ainda têm muitos argumentos para provar além deste!):

1 (1) ~P A
2 (2) P A
3 (3) ~Q A
1,2 (4) Q 1,2RAA(3)
1 (5) P→Q →I(2)

O que é importante notar aqui é que qualquer sentença poderia ser utilizada no lugar de ~Q. Se temos que ~P é o caso, e se assumirmos que P é o caso, temos aí a possibilidade de implicar uma contradição: P & ~P. A partir destas duas suposições, que são os passos (1) e (2) na prova acima, podemos assumir qualquer coisa – não importa qual sentença – que iremos obter um condicional cujo consequente é a contraditória desta coisa que assumimos – no caso da prova acima, o condicional está na linha (5). Logo, se você assume ~P e também assume P, você terá um condicional a partir do qual qualquer coisa pode ser inferida. Se assumo P e ~P, segue-se que o tuiuiú azul se reproduz por meio de rodas de carroça, que 2+2=78, que água não é um líquido, etc.

Isn’t that bad enough??

=]

13 comentários

  1. Legal, Louis. A regra ->I é a regra da prova condicional, certo?
    estive pensando no seguinte: se é qualquer coisa que se segue de uma contradição (ou da suposição de prop’s contraditórias), então podemos inferir a seguinte sentença com base em uma contradição: ~(~P->(P->Q)). Não sei se fiz certo, mas a minha idéia é a de que eu poderia inferir algo que contradiga a própria sentença que mostra esta propriedade de uma contradição. deu pra entender? hehehe

    1. wow, susie, impressionante!
      de fato esta é uma consequência de supor prop’s contraditórias, e poderíamos pensar que, uma vez que a negação do teorema (~P->(P->Q)) pode ser inferida destas suposições, isso estaria mostrando que não teríamos razão para crer no teorema em questão. mas, mais uma vez: a aceitação da contradição teria o efeito “arrasa-quarteirão”, pois assim como não teriamos razão para crer no teorema em questão, asim também não teríamos razão para crer na sua contraditória! é um castelo de vento, se me permite a metáfora.
      sim, a regra ->I é o que tradicionalmente chama-se de ‘prova condicional’. com o material que uso com meus alunos, chamamos a regra de ‘introdução do condicional’.

  2. Excelente, Louis!!! Agora, como vc relaciona a lei da não-contradição com a lei do terceiro excluído, por ex, para responder ao paradoxo do mentiroso numa versão que não seja auto-referente –como no chamado paradoxo de Quine? seria ainda cabível falarmos aqui de “auto-derrotado?” just wondering…

    1. nytha, costumo pensar na relação entre estas duas leis lógicas da seguinte maneira: assumo, no sistema, a lei da não contradição como axioma. a partir dele e de outros axiomas derivo uma regra chamada em muitos contextos de “DeMorgan’s law”. esta lei diz o seguinte: se ~(P&Q), então ~Pv~Q. Agora é só substituirmos a primeira sentença pela lei da não contradição: ~(P&~P), e fazer a mesma inferência. sobre o paradoxo do mentiroso, a versão sem auto-referência existe, e isso mostra que as primeiras soluções a este paradoxo são incorretas. posso formular da seguinte forma: “o que a proxima sentença expressa é falso”; “o que a sentença anterior expressa é verdadeiro”. voilá! temos novamente o paradoxo. agora, o problema que você aponta, em relação a lei do terceiro excluído, é crucial aqui: estas duas sentenças teriam de ser ou verdadeiras ou falsas. mas se são verdadeiras, são falsas, e se são falsas, então são verdadeiras. isso sugeriria que poderíamos ter uma interpretação diferente da lei do terceiro excluído: uma em que a disjunção em Pv~P é inclusiva. mas o paradoxo não mostra que a lei é falsa.

  3. sweet! that still makes room then for constructivist or intuitionist takes on non-experienced mathematical truths –sorry I keep coming back to this issue in metaethics by way of analogy

    1. não peguei este ponto, nythamar. qual a relação destas propriedades lógicas com o construtivismo ou o intuicionismo sobre verdades matematicas?

  4. se entendi corretamente, a lógica intuicionista pode aceitar a lei da contradição (~A → (A → B)) e rejeitar a lei do terceiro excluído (A ∨ ~A), segundo uma concepção anti-realista que não atribui valor de verdade ou propriedades lógicas a objetos matemáticos, na medida em que estes são antes construídos ou intuídos, contrariamente ao formalismo e logicismo

    1. Luis Rosa · · Responder

      nythamar, a fórmula (~P → (P → Q)) não é a lei da contradição. a lei da contradição é: ~(P&~P). a fórmula anterior, que usei para mostrar os problemas em assumir prop’s contraditórias, é um teorema da lógica sentencial. mas agora entendi o teu ponto, e acho que ele é altamente relevante. não sei se tu estavas na palestra do professor chateaubriand em fortaleza, mas aquele dia me pareceu que ele estava assumindo a negação da lei do terceiro excluído: ~P pode ser verdadeiro não só por que P é falso, mas também por que ele é sem referente (p.ex: “pégasus voa”). ainda não sei o que me parece correto assumir – será que podemos dizer que a negação de uma proposição é verdadeira pelo fato de ela não ter referente?

  5. Oi luis!
    Tu já leu o artigo ” the virtues of inconsistency” do peter Klein? Lá ele procura mostrar que embora uma contradição implique todas as proposições, ela não justifica todas as proposições. Se o argumento dele estiver correro, essa não pode ser uma boa razão para rejeitar contradições ( ele oferece outra para rejeitar as as contradições). Qualquer falsidade necessária implica todas as proposições, de acordo com a lógica clássica, e me parece que é por essa razão que uma contradição implica qualquer proposição, e que todavia essa é uma razão circular( pressupõe que toda contradição é falsa)
    Não sei como defender o princípio de não-contradição sem circularidade. Aristóteles tem algumas idéias interessantes sobre como fazer isso, e achei surpreendente que o klen também apresente um modelo de justificação que pretenda o mesmo.

    1. Luis Rosa · · Responder

      lucas, não conheço ainda este artigo do peter klein – mas está “na fila”, hehehhe.
      parece fazer sentido dizer que contradições não justifiquem crenças em toda e qualquer proposição. a implicação de qualquer coisa por uma contradição é uma propriedade puramente extensional de relações entre proposições – não uma relação intensional. por isso que eu quis distinguir o aspecto lógico do aspecto epistêmico de uma contradição. no que diz respeito ao aspecto epistêmico, a propriedade relevante de uma contradição não está no fato de que ela implica todas as proposições – mas de que uma crença neste tipo de proposição é self-defeating.
      uma dúvida: no que diz respeito à tese do klein, ele está falando de justificação proposicional ou doxástica?
      p.s: existe uma maneira clássica de defender o princípio de não-contradição sem circularidade: é uma verdade auto-evidente, uma crença básica, etc.

  6. hi louis! chech this out:
    “Intuitionistic logic can be succinctly described as classical logic without the Aristotelian law of excluded middle (LEM): (A ∨ ¬A), but with the law of contradiction (¬A → (A → B)). (…)
    “Axiom X [¬p → (p → q)] may not seem intuitively clear. As a matter of fact, it adds to the precision of the definition of implication. You remember that p → q can be asserted if and only if we possess a construction which, joined to the construction p, would prove q. Now suppose that ⊢ ¬p, that is, we have deduced a contradiction from the supposition that p were carried out. Then, in a sense, this can be considered as a construction, which, joined to a proof of p (which cannot exist) leads to a proof of q. (Heyting 1956, 102)”
    http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/#RejTerNonDat

    1. Luis Rosa · · Responder

      weirdo! não sei pq ele chama esta implicação da lei da contradição de lei da contradição. é claro que posso assumir [¬p → (p → q)] como axioma em determinado sistema – mas isso não implica que não haja um axioma mais básico, do qual [¬p → (p → q)] pode ser derivado. vou ler o texto do moschovakis – talvez possamos discuti-lo aqui no distropia mais adiante. q achas?

  7. since my major interest lies in moral dilemmas and social policy making, it seems that one feasible way of handling (p & ~p) is precisely by resorting to constructivist procedures just like Heyting suggested

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